关于纳什均衡的一些问题

kdurrr

最近论坛关于GTO讨论得很激烈，然后去百度了下纳什均衡。下面是百度出来的一个例子。大家先来看一下吧。
你正在图书馆枯坐，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这基本是废话，当然该。问题是，这个游戏公平吗？
每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面)，使得每人都赚得最多或亏得最少；或者是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。
  q  g7 ~2 p. o3 S( s% {$ }/ x1 a) P

你\美女	美女出正面	美女出反面
你出正面 $ w; A' o/ A( V4 i	+3，-3	-2，+2 + E2 {( l( G( g3 m6 k- o  p$ z: b' V; J
你出反面 : c% F) D8 K- v5 l+ e: G	-2，+2 # ~, R1 C& m$ c4 K/ k- y	+1，-1

假设我们出正面的概率是x，反面的概率是1-x，美女出正面的概率是y，反面的概率是1-y。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，由此列出方程就是
  g) t% P; O+ h# x: j6 S- H3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )
- J* i1 Q, M* p3 W解方程得x=3/8。
同样，美女的收益，列方程
-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)
9 P/ ], s( ~- f/ v+ q解得y也等于3/8，而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次美女赢1/8元。
4 Q7 w! |, Z! f9 P" [其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案，不论你再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是-1/8元。但是当你也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，你肯定就会被美女采用的策略针对，从而赔掉更多。
* |( v+ o/ y4 Q9 G# X
; E* U' h& v8 ?% w/ N. W
我的问题是当美女采取了(3/8,5/8)这个方案，我们是不是真的不能获胜了呢。如果扑克对手抓住了，3,5这么一个类似的平衡点，我们是不是只能避开他？想法很多，写得很乱。欢迎大家来一起讨论。

* Z- D9 X9 |$ Z/ w0 L+ o5 C$ X# a

xuefengxx

纳什均衡应该就是这个意思，每一方都采取无论对方什么选择，对自己来说都是最优的选择策略，这样双方就会都在多次博弈里找到那个均衡点。

FL-Hunter

楼主是学霸 鉴定完毕

kdurrr

xuefengxx 发表于 2014-8-3 11:07
纳什均衡应该就是这个意思，每一方都采取无论对方什么选择，对自己来说都是最优的选择策略，这样双方就会都 ...

问题在于我们打扑克是需要赢啊，GTO，不输不赢，输反水肯定不是我们想要的结果吧、当你发现对手有偏移漏洞的时候，你势必要采取压榨打法，才能产生利润吧。那时候对于其他的reg来说，你的策略也出现了偏移。就像石头剪刀布，或者硬币一样，最后演变得还不是人跟人，除非就是HU？不太懂。。

kdurrr

我的意思，简单来说，当美女用3.5这个策略的时候，他的对手马上意识到了，然后刚好用相反的，不是每把都赢？到那时候，美女又应该怎么办？

xuefengxx

kdurrr 发表于 2014-8-3 12:50
$ Z* J* q4 Z4 _! F问题在于我们打扑克是需要赢啊，GTO，不输不赢，输反水肯定不是我们想要的结果吧、当你发现对手有偏移漏 ...

8 Z1 U4 i, I/ c7 h. E我也不太懂，只是理解些基本概念，也看过极简化的扑克模型经过数**算得到的均衡策略而已，顶多只是个思路，具体到德州怎么找到这个均衡不得而知。
. F0 A; C! Z+ X5 b
& O' V) D% i  o- R7 O但我的理解是，随着扑克水平的普遍提高，有一天所有的对手都博弈到基本不犯错误，每个人都找到首先立于不败之地的策略时，那时候真的均衡了。

我认为这种境况不可能发生，但掌握这个策略率，遇强不输，遇偏离就去挤压。
2 ~! M- e9 {" v! K4 m$ l2 p; d& ^& t5 z; s
) F! L, v$ E9 h& w& r扑克确实可以演化到极度策略均衡吧。

我现在还是输输赢赢呢，这只是自己理解的GTO
, @% R8 Q) T3 F2 H# A% [# Y
- P& _6 j5 W% V, h8 b' Z

xuefengxx

kdurrr 发表于 2014-8-3 12:52
5 I7 j2 A' Y" T: E" b% v我的意思，简单来说，当美女用3.5这个策略的时候，他的对手马上意识到了，然后刚好用相反的，不是每把都赢 ...

3 n) b5 T- ?2 p& A0 Q" s& Q把纳什具体应用到德州不得而知，但纳什均衡是一个确定占有策略，是不管对手如何变化，预期收益都绝对稳定的选择，在不断反复博弈中，对手也必然会选择相应的测率。  感觉上到这境界已经是程序化的出牌了。
/ M& ?0 b) R) W' @你的例子里美女要是采用了这个策略，那结果就像1+1永远等于2那样结果确定了。
" h" r7 n9 a1 @) T' b# q
当然美女是人，有血有肉有欲望活，会有失误，会有TILI.当对手不按相应的策略应对，她可以有很多调整吧。  
' x! L6 }' S2 h  a# Y1 q' q
纳什均衡不是一定会赢，定义是绝对稳定的博弈结果——
/ M. M4 G  T# ]6 j+ n
这不是也等着，高手们再往下细说呢。

kdurrr

xuefengxx 发表于 2014-8-3 13:10
+ u! g7 {$ `; w. ?7 J2 b" K把纳什具体应用到德州不得而知，但纳什均衡是一个确定占有策略，是不管对手如何变化，预期收益都绝对稳定 ...

3 c' v- l1 M7 |3 N+ U简单来说，。如果GTO是面对其他所有策略不输不赢，我们现在假设扑克上所有对手的策略（reg fish都包括），你都做到不输不赢，然后，你就输了反水。。。。？。你面对其他的选手，做出偏离，就不再是GTo啦。

南山一只狐

5 X1 c" ]# E  O' L! o6 c6 x) G
+ @* V) a1 e' C是啊，你不能获胜，因为你这个游戏的模型，就是一方有优势的。但是，在这个例子中，当你把的损失降低到最小的时候，也是一种变相的赢了。你至少战胜了自己。

xuefengxx

kdurrr 发表于 2014-8-3 13:22
, c8 k# ^; m3 ?" p$ R简单来说，。如果GTO是面对其他所有策略不输不赢，我们现在假设扑克上所有对手的策略（reg fish都包括） ...

我认为要是把GTO定义的狭窄的话，应该是的
GTO对GTO结果应该永远已经确定

1 q% y8 T  ~7 A: O- H相互偏离，博弈无绝胜，谁赢谁输就不确定了
5 ~! r' X" `# I% P/ S-----------
我不能理解的是，德州牌型组合那么多，即使有GTO策略。毕竟是人脑怎么做到，大量的记忆，坚决的执行，不可以想象。。。
. v) \% q0 A8 s! D& q
智商捉急，静等下文
. z" g; q# X" E

valtano

恩，看了以上讨论又对扑克恢复乐观了